Главная страница

Ракетодинамика

метод основы 184

Так, решению оптимальных задач ракетодинамнки посвятил ряд статей Лоуден. В некоторых из них он рассматривал изменение дальности полета ракет в зависимости от направления тяги. Например, Лоуден исследовал этот вопрос для случая, когда сопротивлением воздуха можно пренебречь, а ускорение силы тяжести принимается постоянным по величине и направлению. Им было найдено, что максимальная дальность может быть достигнута при определенном отклонении тяги от направления полета. Лоуден изучал и влияние на дальность величины перегрузки. Эта задача была им исследована в предположении, что массовый секундный расход остается неизменным. В другой статье Лоуден изучал вопрос о получении оптимальной дальности при соответствующем выборе направления тяги. Принимались во внимание суточноевращение Земли и уменьшение ускорения силы тяжести с высотой. Учитывалось также сопротивление воздуха и кривизна земной поверхности. Задача решалась обычными методами вариационного исчисления. Дифференциальные уравнения движения рекомендовалось интегрировать или численно с помощью ручной вычислительной техники, или посредством электронных вычислительных машин.

метод основы 14

На протяжении второй половины XIX в. зональные формулы совершенствовались в направлении упрощения их аналитического представления и использования все более - достоверного опытного материала. Законы сопротивления приобретали большую строгость. Изучение сопротивления воздуха было продолжено самим же Маиевским. В 1868 и 1869 гг. он поставил на Волковом поле обширные опыты над сферическими и продолговатыми снарядами с помощью более совершенной баллистической аппаратуры — хронографа Лебуланже. Скорости не превышали 530 м/сек., и в отношении диапазона изучаемых скоростей новые опыты не отличались от прежних. Испытанные Маиевским продолговатые снаряды имели длину около 2 кал., а радиус оживаль- ной части был заключен между 1.0 и 1.5 кал. Маиевский вновь пришел к зональным формулам, отражавшим те же качественные изменения силы сопротивления воздуха в зависимости от скорости, как и его формулы 1859 г.

метод основы 143

Исследования по теории полета пороховых неуправляемых ракет отличались между собой принимаемыми в расчет силами и моментами, а также теми приближениями, на которых основывалось интегрирование дифференциальных уравнений движения. Сходство рассматриваемых работ заключалось в том, что в большинстве случаев аэродинамические коэффициенты принимались величинами постоянными. Это обосновывалось тем, что длябольшого диапазона скоростей они оставались или почти неизменными или медленно убывали. Исключение составляла зона звуковых скоростей, для которой эти характеристики резко возрастали.

метод основы 21

Общий метод Сен-Робера был широко использован Маиевским в 1870 г. применительно к его зональным формулам сопротивления. Для случая прицельной стрельбы траекторию приходилось разбивать на участки вследствие того, что формулы закона сопротивления были различными для каждой из зон, в которых измерялась скорость снаряда. При стрельбе же под значительными углами возвышения при больших начальных скоростях траекторию нужно было представлять в виде последовательных участков, а также для того, чтобы провести приближенное интегрирование дифференциальных уравнений движения.

метод основы 145

В книге Ренкина предлагалось и общее решение рассматриваемой задачи, слабой стороной которого являлась его громоздкость и недостоверность в связи с отсутствием точных данных о величине некоторых аэродинамических коэффициентов. Однако эти уравнения позволяли найти общий характер движения ракеты и получить условия ее устойчивости в полете. Оно близко к фигурирующему в классической баллистике. Это условие предполагало, что на активном участке траектории угол атаки (нутации) остается величиной малой, как и скорость его изменения, и не превышает определенной величины.

метод основы 131

Одновременно с Куттерером и в том же плане исследовал задачу о движении вращающегося продолговатого снаряда и Бэсс. Он составил дифференциальные уравнения движения центра массы снаряда и уравнения, определяющие его движение около этой точки. Затем после тщательнойоценки величины аэродинамических характеристик, Бэсс проводил приближенное интегрирование установленных уравнений. При изучении движения оперенных снарядов он исходил из этих же уравнений, принимая угловую скорость вращения вокруг продольной оси снаряда равной нулю. Бэсс опирался на решение Дарпа 1937 г. (§ 6 гл. I) и на его исследование, речь о котором шла в начале данного раздела.

метод основы 153

Несколько по-иному решили задачу о вертикальном полете ракеты в сопротивляющейся среде Куттерер, а также Баррер и его соавторы. Они допускали, что коэффициент сопротивления в квадратичном законе, плотность воздуха и статическая составляющая реактивной силы представляют собой функции времени. Руководствуясь методом последовательных приближений, они считали возможным, что в течение небольшого промежутка времени названные переменные можно принимать постоянными средними значениями. Это позволяло достаточно просто найти искомое решение — скорость и высоту подъема ракеты в зависимости от времени.

метод основы 146

Сначала Гантмахер и Левин оперировали с полной системой аэродинамических сил и моментов, введенной Фаулером и другими английскими учеными (§ 6 гл. I). Допускалось, что угол атаки — величина малая. Они составляли систему дифференциальных уравнений движения по касательной к траектории и по нормали к ней, а также уравнение вращательного движения ракеты. Установленная система приводилась к линейному дифференциальному уравнению второго порядка относительно угла атаки, которое интегрировалось численно. Гантмахер и Левин показали также, каким образом можно представить систему уравнений при полной схеме действующих моментов и сил в виде линейного дифференциального уравнения второгопорядка с постоянными коэффициентами. Уравнение интегрировалось аналитически и сводилось к квадратурам. При этом диаграмма изменения тяги могла быть выбрана произвольной. Затем ученые упрощали задачу, ограничиваясь рассмотрением наиболее существенных сил и моментов. Они принимали в расчет тягу, боковой отклоняющий и стабилизирующий моменты. После введения новых переменных система сводилась к уравнению, которое интегрировалось аналитически.

метод основы 165

Для простейших задач Коой и Ютенбогарт использовали аналитический метод. Когда же он становился сложным ввиду множества принимаемых в расчет факторов, авторы обращались к численному методу Рунге—Кутта, уже нашедшему широкое применение во внешней баллистике (§ 4 гл. I и § 4 гл. II). Коой и Ютенбогарт кратко излагали и его сущность. Позднее метод Рунге—Кутта продолжал употребляться при вычислении траектории баллистических ракет, особенно в Германии. Об этом, в частности, сообщал Бэсс, также посвятивший несколько страниц изложению метода Рунге—Кутта. Сказанное лишний раз подтверждает преемственность в методах решения задач внешней баллистики и ракетодинамики. Здесь видно и влияние Кранца, являвшегося в Германии энергичным сторонником метода Рунге—Кутта.

метод основы 159

Более простым из рассматриваемых случаев является тот, когда траектория представляет собой плоскую кривую. Она определяется стандартными условиями полета и характеризуется тремя уравнениями: уравнениями движения центра массы ракеты по касательной к траектории и по нормали к ней и уравнением движения ракеты около этого центра. К ним добавляются уравнения управления полетом ракеты, т. е. уравнения, определяющие ее пространственное положение. Для баллистическойракеты таким уравнением служит соотношение, характеризующее изменение угла тангажа в функции от времени. Кроме того, необходимо рассматривать еще и уравнения, дающие величину управляющих усилий или углов поворота органов управления в зависимости от пространственной ориентации ракеты.

метод основы 166

Вычисление траектории при допущении, что большая ее часть представляет собой дугу параболы, использовалось Кооем и Ютенбогартом только как первое приближение. Этим объясняется, например* что, по некоторым данным, 55% ракет F-2, выпущенных по Лондону, отклонялось от цели на 1 км. Такая высокая по тому времени точность могла быть получена в результате более строгого расчета, когда принимаются во внимание сопротивление воздуха, суточное вращение Земли и кривизна ее поверхности.

метод основы 27

Исследования Сен-Робера по определению влияния вращения Земли на отклонение артиллерийского снаряда были продолжены Н. А. Забудским еще в XIX в. Он рассматривал перемещение снаряда в воздухе и составлял для него дифференциальные уравнения в относительном движении. Забудский, в отличие от Сен- Робера, объединил члены, представляющие силу притяжения и центробежную силу переносного движения, в один член, выражавший вес снаряда. Собственно говоря, он получил дифференциальные уравнения, которые в дальнейшем неизменно фигурировали в работах, посвященных решению рассматриваемой задачи.

метод основы 3

Важным обстоятельством для развития ракетодинамнки явилось создание динамики точки переменной массы, что было обусловлено логикой развития механики и необходимостью решения прикладных задач небесной механики и техники. Построенная в конце XIX и вначале XX в. теория легла в основу современной ракетодинамнки.

метод основы 49

Кроме перечисленных методов, в первой половине XX в. употреблялись методы, созданные еще в XIX столетии. Они предназначались для решения более узких задач, но все еще удовлетворяли запросам практики. Так, широкое распространение имел метод Эйлера, применявшийся для начальных скоростей, меньших 240 м/сек., и таблицы Отто. Для решения задач навесной стрельбы при скоростях порядка 400 м/сек. использовался и метод Забудского. Для вычисления элементов траектории при стрельбе под малыми углами возвышения употреблялся метод Сиаччи. Некоторые из перечисленных приемов находят применение во внешней баллистике и в ракетодинамике также и теперь.

метод основы 23

Так, например, Н. А. Забудский предложил метод, основанный на представлении закона сопротивления воздуха в виде биквадратичной формулы. Величина коэффициента пропорциональности выбиралась в зависимости от границ изменения скорости снаряда по траектории. Решение основывалось на интегрировании дифференциальных уравнений движения по методу Эйлера. Однако выбранное Забудским выражение для закона сопротивления делало метод неточным, в том случае, когда скорость снаряда менялась вдоль траектории в широком диапазоне. Поэтому в таком виде метод Забудского не мог быть использован для больших начальных скоростей. Его применяли при вычислении траектории в сочетании с другими методами.

метод основы 169

Об использовании в только что названном плане эллиптической кривой писал Шольце. В частности, он останавливался на выборе угла, который нужно придать ракете в момент выключения двигателя, чтобы получитьнаибольшую дальность. Эллиптическую теорию применительно к вычислению средней части траектории ракеты обстоятельно излагали Феодосьев и Си- нярев. Не ссылаясь на работы Шарбонье и Кранца, советские ученые исходили, по существу, из их результатов, относящихся к изменению формы траектории с увеличением начальной скорости. Главное же, Феодосьев и Синярев писали о необходимости учитывать некоторые новые факторы, о чем будет сказано ниже. Они останавливались также на изменении дальности в зависимости от угла запуска, вычисляя конечный участок траектории по формулам эллиптической теории.

метод основы 9

Стало быть, в перечисленных работах по внешней баллистике уже стоял вопрос об учете понижения плотности воздуха с высотой. Использованные в этих работах данные аэрологии, пополненные более поздними экспериментами, стали широко применяться во внешней баллистике после первой мировой войны, когда боевая практика поставила перед этой артиллерийской дисциплиной задачи по отработке методов дальней и сверхдальней стрельбы, а также стрельбы по воздушным целям. Как будет видно из дальнейшего, законы изменения физических характеристик с высотой неизменно фигурируют при вычислении траектории баллистических ракет.

метод основы 172

Пассивный участок траектории может представлять собой и орбиту искусственного спутника Земли или космического корабля. Это имеет место в том случае, если в конце активного участка ракете сообщена первая или вторая космические скорости.

метод основы 155

Принятые Бланом допущения позволили ему проинтегрировать установленные дифференциальные уравнения движения

методосновы 76

Важнейшие результаты в области ракетодинамики за первую половину столетия были установлены в работах, посвященных решению космической задачи. Прежде всего необходимо остановиться на исследовании полета ракеты в поле силы тяжести. Основная цель работ этого цикла заключалась в определении отношения начальной массы ракеты к ее конечному значению, необходимого для преодоления силы тяжести и сопротивления атмосферы.

метод основы 176

В 1957 г. Ярмо лов исследовал задачу динамики полета ракеты с переменными моментами инерции и непостоянными моментами действующих сил. Имелась в виду многоступенчатая ракета с вращающейся вокруг продольной оси последней ступенью. Устойчивость ее полета обеспечивалась вращением этой ступени с соответствующей скоростью. Особенность задачи заключалась в очень большом массовом секундном расходе топлива, что вызывало резкое изменение инерционных свойств снаряда. Происходило и сильное перемещение центра массы вдоль его продольной оси. В результате при постоянной тяге возникали быстро изменяющиеся моменты действующих на снаряд сил даже тогда, когда тяга мало отклонялась от оси ракеты. Для строгого решения задачи уже нельзя было выбирать значения моментов инерции или моментов действующих сил постоянными средними величинами, а необходимо было учитывать их изменение в зависимости от времени.

метод основы 103

В конце 50-х годов возникли новые проблемы, связанные с движением тел со сверхзвуковыми скоростями. Одна из них, например, заключалась в установлении влияния ударной волны на ионизацию и диссоциацию воздуха вблизи перемещающегося тела. Кроме того, при таких скоростях изменяется теплообмен по сравнению с идеальным газом и возникаеттеплообмен лучистого характера; проявляется и влияние аэродинамического нагрева. В результате того что поток становится электропроводным, создается магнитная аэродинамика. Здесь нет возможности останавливаться на рассмотрении этих проблем, но имеет смысл несколько подробнее осветить вопросы, имеющие непосредственное отношение к тематике книги.

метод основы 85

тод Сиаччи, к которому прибегали при вычислении траектории пороховых неуправляемых ракет и после второй мировой войны (§ 6 гл. II).

метод основы 115

Лобовое сопротивление воздуха является основной из действующих на снаряд аэродинамических сил. В настоящем параграфе было достаточно сказано об изучении этой силы и формах ее выражения. Однако на снаряд действуют и другие аэродинамические силы и моменты, частично выявленные в XVIII и XIX вв., главным же образом в текущем столетии. Все же, несмотря на то что эти характеристики были установлены уже давно, определяющие их коэффициенты остались и сейчас изученными недостаточно, хотя в этом направлении в последнее время был сделан крупный шаг вперед.

метод основы 138

В этой книге были приняты те же допущения, что и в основной задаче внешней баллистики. Предполагалось, что реактивная сила совпадает с касательной к траектории и направлена в сторону, противоположную действию лобового сопротивления воздуха. Центр тяжести реактивного снаряда по мере сгорания заряда не перемещается вдоль продольной оси реактивного снаряда. Это были допущения, которые обычно принимались при определении траектории центра инерции ракеты без учета ее движения около этой точки. Сила Кориолиса и изменение силы тяжести по величине и направлению в этойработе не учитывались. Это подтверждало, что рассматривалась пороховая неуправляемая ракета ближнего действия.

метод основы 82

Проблемой торможения космического корабля с помощью атмосферы занимались и в нашей стране. Баллистический спуск такого аппарата разрабатывал, например, в 20-х годах Цандер. Считая закон изменения плотности воздуха с высотой известным, он находил, пользуясь методом последовательных приближений, ускорение приземляющегося корабля. Планирующий спуск аппарата в атмосфере с точки зрения аэродинамики изучал также Кондратюк.

метод основы 116

Определение некоторых из аэродинамических характеристик представляет большие технические трудности. Так, в середине 50-х годов еще не был известен надежный экспериментальный метод, посредством которого можно было бы найти коэффициент силы Магнуса. При испытании модели в аэродинамической трубе ей нужно было сообщить вращение вокруг продольной оси. Для измерения коэффициента были необходимы аэродинамические весы специального устройства. Сила Магнуса достигает значительной величины только при больших углах атаки, что осложняло определение коэффициента стрельбой по картонам. Задача по достаточно надежному установлению этой характеристики была разрешена несколькими годами позже в связи с развитием техники эксперимента.

метод основы 104

Оперирование со скоростями, намного превышавшими скорость звука, привело к изменению методов исследования. Физическая картина обтекания тела воздушным потоком не меняется, если его скорость отвечает числам 1=2 и ilf=10, как и при обтекании дозвуковым потоком при любых скоростях. Эти изменения основаны на пренебрежении членами,содержащими число М, возведенное в отрицательные степени, равные двум и выше. Кроме того, при гиперзвуковых скоростях образующие угла Маха становятся почти параллельными направлению потока. Область возмущений получается ограниченной и сравнимой с пограничным слоем.

метод основы 167

конца 50-х и начала 60-х годов отмечали, что Цурмюлю, занимавшемуся баллистикой этой ракеты, следовало бы учитывать поправки на суточное вращение Земли, ветер и т. п. Это показывает, что в годы второй мировой войны немецкие баллистики иногда обходились без названных уточнений.

метод основы 43

Rt=cH (y)F(u).

метод основы 98

К началу рассматриваемого периода физические свойства тропосферы (плотность, давление, температура) были уже изучены достаточно хорошо. Обследованию подлежали более высокие слои атмосферы, что началось вскоре после второй мировой войны. К этому времени было установлено, что нагревание нижних слоев атмосферы связано, прежде всего, с отражением тепловых солнечных лучей от поверхности Земли. Стало известно, что слой атмосферы между 40 и 80 км обладает повышенной температурой. Это объяснялось присутствием озона, который удерживал большую часть ультрафиолетовых солнечных лучей. После высоты порядка 10 км находился электропроводящий слой — ионосфера. Согласно более поздним данным, ионосфера лежит между 10 и 50 км при наибольшей ионизации в районе 25 км.

метод основы 92

Следует остановиться и на законах сопротивления воздуха, использованных в работах по теории полета ракет аэродинамического и баллистического характера. Изучая движение реактивного снаряда по вертикальнойтраектории, Ветчинкин выражал функцию сопротивления в общей форме. Он замечал, что для скорости, намного превышающей звуковую, сопротивление воздуха пропорционально не квадрату, а первой степени скорости, что, например, как подчеркивал он сам, имеет место в законе Сиаччи. Это позволяет думать, что Ветчинкин считал возможным пользоваться при расчетах траектории ракеты законом итальянского баллистика. К этому же закону рекомендовал обращаться и Львовский, разрабатывавший баллистическую задачу.

метод основы 17

Шлирный и теневой методы позволили подойти непосредственно к выяснению влияния отношения скорости снаряда к скорости звука на величину силы сопротивления воздуха и к объяснению причины ее резкого возрастания в районе скорости звука. Однако потребовалось несколько десятилетий, прежде чем этот новый фактор был введен в аналитическое выражение для закона сопротивления воздуха.

метод основы 61

Уже неоднократно говорилось, что в годы первой мировой войны во многих странах Европы и в Соединенных Штатах Америки усиленно разрабатывались методы дальней и сверхдальней стрельбы. Естественно, что эти проблемы не могли не усилить интереса баллистиков к изучению отклонений снаряда, обусловленных суточным вращением Земли. В этом плане высказывался, например, известный русский баллистик Н. А. Забудский:

метод основы 25

Пуассон исследовал задачу более обстоятельно, чем его предшественники. Он рассматривал движение ядра, выброшенного под углом к горизонту. Сопротивление воздуха принималось пропорциональным квадрату скорости. Движение снаряда изучалось по отношению к вращающейся Земле. Для решения задачи Пуассон составилдифференциальные уравнения относительного движения. Кроме силы тяготения и силы сопротивления воздуха, уравнения включали силу инерции переносного движения и силу инерции Кориолиса. Однако Пуассону не удалось установить причину, вызывающую отклонение снаряда. При интегрировании уравнений он пренебрегал членами, содержащими квадрат и более высокие степени угловой скорости вращения Земли вокруг ее оси.

метод основы 168

Вычислению пассивного участка траектории ракеты серьезное внимание уделил Уилон. Он писал о том, что аналитическое исследование траектории было выполнено в XX в. и астрономами, и баллистиками. 'Небесная механика, вообще говоря, занималась периодическими движениями тел солнечной системы. Внешняя же баллистика, согласно Уилону, исследовала не вполне свободное движение тел, рассматривая перемещение снаряда под действием силы сопротивления воздуха. Промежуточный подход к вычислению траектории снаряда между «небесным» и «артиллерийским» методами был найден, по мнению Уилона, только после осуществленного запуска баллистических ракет.

метод основы 193

§ 8. Использование результатов исследований по баллистике и

метод основы 89

Известно, что квадратичная формула справедлива как для скоростей, не превышающих 250 м/сек., так и для сверхзвуковых скоростей. Поэтому использованный Мещерским закон отвечает большей части траектории космической ракеты при ее перемещении в атмосфере. Однако Мещерский не имел этого в виду. Для боевых же ракет, широко применявшихся в первой половине XIX в. и находивших некоторое употребление в конце столетия, квадратичный закон мог быть использован, так как их скорости были невелики. К. Э.Циолковский давал силу сопротивления воздуха в форме, принятой в аэродинамике,

метод основы 83

Прежде всего, необходимо остановиться на решении задачи о полете ракеты, выброшенной вертикально вверх в поле силы тяжести вне атмосферы. Эти исследования тематически перекликались с теми, которые проводились ранее в плане космических исследований. Однако аппарат этих работ был. уже несравненно совершеннее.

метод основы 137

Советские ученые уделили внимание и определению всей траектории центра инерции ракеты. Как это рекомендовал делать ранее Львовский, они предлагали проводить через точку конца активного участка горизонтальную прямую до ее пересечения с нисходящей ветвью траектории. В результате она разбивалась на три зоны: первую, отвечающую активному участку; вторую — среднюю, отсекаемую от траектории горизонтальной прямой, и третью, начинающуюся от точки пересечения этой прямой с нисходящей ветвью и продолжающуюся до точки падения.

метод основы 7

В 1757—1759 гг. М. В. Ломоносов также заметил, что температура воздуха убывает с высотой по линейному закону с градиентом 6° С на 1000 м. В 1793 г. Дальтон высказал это же предположение. Как известно (§ 1, гл. I), величина градиента в 6° С близка к температурному градиенту линейного закона понижения температуры с высотой, установленного из условия вертикального равновесия атмосферы. Дальтон считал свою закономерность справедливой до высоты в 20 км, в то время как по законам, установленным лишь в конце XIX в., она отвечает действительности до высоты порядка 10 км.

метод основы 191

H a a g J. Sur le calcul destrajectoires et leurs alterations. J. Ecol. polytechn., 2me serie, 21 cahier, 1921.

метод основы 119

Еще в одной работе конца 40-х годов, также посвященной теории полета оперенных пороховых ракет и принадлежавшей Ренкину, рассматривалась система аэродинамических сил и моментов, идентичных тем, которые были приведены Нильсеном и Синджем. Ренкин замечал, что картина обтекания ракеты воздушным потоком носит иной характер, чем для артиллерийского снаряда. Он объяснял это воздействием выбрасываемой из сопла газовой струи. Поэтому первоначально Ренкин изучал движение артиллерийского снаряда, имеющего ту же форму, что и ракета, и не принимал, таким образом, во внимание влияние газовой струи. Затем, введя соответствующие коррективы, он переходил к рассмотрению ракеты, учитывая и этот фактор.

метод основы 177

нием результатов численного интегрирования дифференциальных уравнений движения с данными испытаний снаряда в свободном полете.

метод основы 163

После второй мировой войны получили стремительное развитие вычислительные машины, принадлежащие к классу дискретных, или цифровых. Родоначальником аппаратуры такого рода следует считать фотографический интегратор, разработанный в 1927 г. Н. Винером. Прибор давал интегральные кривые и был основан на процессах статистического анализа. Особенно заметный прогресс в развитии дискретных вычислительных машин наблюдался в связи с использованием радиоэлектронной аппаратуры.

метод основы 182

В конце 40-х годов вариационная задача вертикального полета ракеты рассматривалась уже в более широком предположении о функциональнойзависимости сопротивления воздуха. В такого рода исследованиях принималось во внимание изменение плотности воздуха с высотой. Это была, в частности, одна из задач, которую разрешил Д. Е. Охоцимский в своей обстоятельной статье, посвященной определению оптимальной дальности. Охоцимский связывал решаемую задачу с положениями внешней баллистики. Это подтверждается использованной им формой закона сопротивления воздуха, а также видом функции, характеризующей изменение его плотности с высотой.

метод основы 64

Две статьи Н. А. Забудского посвящены исследованию движения снаряда, выброшенного со значительной начальной скоростью под большим углом возвышения. Допускалось, что угол нутации мал. Шарбонье и Кранц давали приближенный метод интегрирования линейного дифференциального уравнения второго порядка. Оно было получено Де Спарром еще в 1893 г. и точно им проинтегрировано. Кроме того, Кранц отчетливо показал, что ось снаряда не совершает вращательного движения вокруг касательной к траектории. Русский баллистик С. Г. Петрович обратил внимание на вывод формулы для крутизны нарезки в дульной части ствола, обеспечивающей правильный полет снаряда на начальном участке траектории. Он провел сравнительный анализ формул для крутизны нарезов, установленных Забудским, Де Спарром и им самим, в результате чего пришел к заключению об их идентичности.

метод основы 160

Если траекторию центра массы ракеты необходимо представить в виде пространственной кривой, задача моделирования сильно усложняется. Дифференциальные уравнения движения составляются уже относительно трех координатных осей, и число уравнений увеличивается до шести. Кроме перемещения по тангажу, вводятся угловые изменения по рысканью икрену. В результате система уравнений может быть проинтегрирована приближенно только в редких случаях.

метод основы 125

Таким образом, во время второй мировой войны и позднее в аналитических методах внешней баллистики не было сделано ничего принципиально нового. Однако пробудившийся интерес к вопросам сверхдальней стрельбы привел к разработке уже выдвигавшихся ранее задач. Они оказались полезными и при вычислении траекторий баллистических и межконтинентальных ракет. Стало быть, в этой области внешняя баллистика как бы перешла в ракетодинамику.

метод основы 121

§ 4. Преемственность в методах вычисления траектории

метод основы 58

Кроме численных методов, основанных на конечных разностях, нашли применение и числовые ряды. В Германии, например, получил известность метод, предложенный в 1919 г. О. Винером. Этот метод был основан на ряде Тейлора, но служил не для вычисления всей траектории или ее части, а для расчета элементов отдельных малых дуг, на которые разбивалась траектория. Зенгевальдт усовершенствовал решение Винера, предложив способ определения интервалов времени, отвечающих промежуткам, на которые разбита траектория для получения заданной точности. Врун придерживался того же метода, что и Винер, но выбрал другие оси координат. Однако его способ оказался более трудоемким. Исследования Винера, Зенгевальдта и Вруна получили распространение прежде всего в Германии.

метод основы 189

Охоцимский Д. Е. и Т. М. Энеев. Некоторые вариационные задачи, связанные с запуском ИСЗ. УФН, т. 63, вып. 1-а, сентябрь 1957.

href="adf2/metod-osnovyi-148.html">метод основы 148

Дифференциальные уравнения движения оперенной ракеты были составлены в предположении, что проворачивание вокруг ее продольной оси отсутствует. Все угловые отклонения оси ракеты и касательной к траектории ее центра массы от прямой, определяемой направляющей, представляют собой малые величины. Такие допущения были вполне обоснованными, так как углы отклонения на активном участке не превышают 3—5°. Это позволяло, как и при решении аналогичной задачи внешней баллистики, обратиться к интегрированию приближенных уравнений, дающих удовлетворительные для практики результаты. Ввиду того что сведения об аэродинамических характеристиках были неполными и не всегда достоверными, получаемое решение хорошо заменяло то, которое может быть найдено при интегрировании точных уравнений.

метод основы 147

Работа Карьера, вышедшая в 1951 г., также трактовала вопросы рассеивания пороховых неуправляемых ракет. Однако она является трудом несколько менее значительным, чем те, о которых речь шла выше. Карьер принимал в расчет лобовое сопротивление воздуха, подъемную силу и восстанавливающий момент. Тушащие моменты и отвечающие им силы он не учитывал, хотя и упоминал о них. Ускорение центра инерции ракеты по направлению касательной к траектории принималось им неизменным по

метод основы 101

Все же уменьшение плотности воздуха с высотой было представлено аналитически для сравнительно большой высоты, отвечающей ионосфере. Закон изменения плотности воздуха по мере удаления его слоев от поверхности Земли чаще всего выражали в виде экспоненциальной формулы, введенной (§1 Введения) в астрономии еще XVIII в., а затем широко применявшейся во внешнейбаллистике. С помощью же ракет плотность воздуха была найдена еще в начале 50-х годов до высоты в 220 км и оказалась равной 10~8 г/м3, т. е. ниже установленной теоретически. Наиболее надежные результаты были получены при использовании искусственных спутников Земли.

метод основы 72

В. С. Пугачев изучал движение авиационной бомбы и проворачивающегося снаряда в предположении той же полной системы действующих сил и моментов, которые он рассматривал применительно к продолговатому вращающемуся снаряду. Метод исследования оставался прежним, и суть его заключалась в совместном интегрировании дифференциальных уравнений движения центра массы бомбы и уравнений ее движения около этой точки. Были рассмотрены также условия устойчивости по Ляпунову применительно к новым задачам. Разница в системе действующих сил и моментов для оперенного снаряда по сравнению с вращающимся, согласно Пугачеву, заключалась в том, что момент сопротивления был заменен восстанавливающим моментом. Для случая движения проворачивающегося оперенного снаряда полярный тушащий момент должен быть заменен крутящим или аксиальным.

метод основы 123

Для интегрирования названных. уравнений Александро обратился к численному методу Рунге—Кутта, использованному ранее Кооем и Ютенбогартом. Известно, что они решали задачи, связанные с полетом баллистической ракеты F-2 (§ 8 гл. II). Следует обратить внимание на то, что в конце 40-х и в начале 50-х годов для решения задач, приближавшихся во внешней баллистике к космической, были использованы приемы, уже нашедшие применение в ракетодинамике, хотя и получившие первоначально употребление в баллистике (§ 4 гл. I).

метод основы 69

В уже упоминавшемся курсе внешней баллистики Д. А. Вентцель пошел дальше своих предшественников в рассмотрении действующих на снаряд аэродинамических сил и моментов, продолжив тем самым работу четырех английских ученых. Он оперировал с выявленными ими аэродинамическими характеристиками. Останавливаясь на природе этих сил и моментов, Вентцель опирался на данные английских ученых и на упоминавшиеся эксперименты Кранца, отмечая необходимость проведения испытаний в аэродинамической трубе, которые до того времени ставились в очень ограниченных масштабах. В 30-х годах уже появились трубы со сверхзвуковыми скоростями и открылась возможность исследовать хотя бы характер изменения некоторых аэродинамических коэффициентов для более широкого диапазона скоростей.

метод основы 79

В ином аспекте, чем его предшественники, изучал проблему о преодолении силы земного притяжения Лоренц. Он подходил к решению задачи с энергетической точки зрения. Лоренц сопоставлял энергетический ресурс топлива с работой, затрачиваемой на преодоление силы тяжести. Это и служило ему основой при определении минимального отношения масс. Им рассматривался и полет ракеты с различными режимами работы двигателя, например с постоянным ускорением.

метод основы 41

С началом широкого применения продолговатых снарядов исследование формы снаряда для получения наименьшего сопротивления воздуха приобрело практическое значение. Эта задача получила особенное развитие в начале XX столетия в связи с возросшим разнообразием форм снарядов и не прекращавшимся стремлением повысить дальность стрельбы. Поэтому поиски снарядов с формой головной части наименьшего сопротивления проводились как теоретически, так иэкспериментально.

метод основы 50

Одновременно с Германией и Францией идея о применении только что изложенного приема была использована при вычислении траектории при сверхдальней стрельбе и в нашей стране.

метод основы 152

Автор предлагаемой книги не задавался целью проследить за эволюцией в разработке космической задачи за послевоенный период, насыщенный крупными достижениями в этой области. Данный параграф посвящен общей характеристике теоретического фундамента определения активного участка траектории баллистической или межконтинентальной ракеты и вопросам управления ее полетом. В этой области, как видно из предыдущего (§§ 7, 8 гл. I), многое было почерпнуто из исследований, проведенных за первые десятилетия настоящего столетия.

метод основы 90

Таким образом, в ракетодинамике влияние скорости полета ракеты или величины М на аэродинамический коэффициент лобового сопротивления воздуха начали рассматривать, несомненно, в результате ознакомления с работами по внешней баллистике. Правда, сведения из этой области артиллерийской науки были использованы далеко не полностью, и заимствованные данные носили, в общем, случайный характер. Как уже говорилось, это объяснялось тем, что ракетодинамика в первой половине столетия не ставила изучение сопротивления воздуха в один ряд с наиболее актуальной проблемой — преодолением ракетой поля силы тяжести.

метод основы 183

Цзин и Эванс решали задачу примерно при тех же предположениях, что и Космодемьянский — сначала для закона сопротивления, представленного в общей форме. Затем они переходили к квадратичной и линейнойформулам и находили такую функцию для высоты подъема в зависимости от времени, при которой начальная масса ракеты была бы минимальной.

метод основы 93

В исследованиях по теории полета ракет, проводившихся в первой половине XX в., влияние кривизны земной поверхности учитывалось крайне редко. Исключение представляют работы Циолковского. Этот фактор он принимал во внимание, например, при изучении восходящего движения ракеты. Кривизна земной поверхности учитывалась Циолковским и при вычислении работы, затрачиваемой на преодоление силы сопротивления воздуха. Во внешней баллистике поправки на кривизну земной поверхности были введены при разработке методов дальней и сверхдальней стрельбы (§ 5 гл. I). Методы внешней баллистики не обратили на себя внимания ученых, занимавшихся теорией полета ракет, по-видимому, в связи с тем, что преимущественно ими рассматривалась задача по определению массы топлива, необходимой для преодоления силы тяжести.

метод основы 30

ние на переднюю часть снаряда оказывается большим, чем на заднюю. Снаряд как бы катится по воздушной подушке вправо, если его вращение происходит по часовой стрелке, в то время как наблюдатель смотрит по направлению выстрела. Такое объяснение было ошибочным" и в 60—70-х годах уступило место научно обоснованной теории Сен-Робера и Маиевского, подкрепленной специальными опытами Магнуса.

метод основы 130

Макшейн и его соавторы рассматривали (§ 3 гл. II) систему аэродинамических сил и моментов, включавшую еще три компонента, кроме установленных Фаулером, Геллопом, Локком и Ричмондом. Первоначально Макшейн составлял в комплексной форме систему из 9 дифференциальных уравнений,включавших все силы и моменты. Для облегчения интегрирования, он переходил к относительным переменным, используя метод последовательных приближений и, по возможности, отбрасывая члены второй и третьей степени малости. Сначала решалась основная задача внешней баллистики, после чего траекторию центра массы снаряда можно было считать известной. На этом основании определялось движение снаряда около этой точки. Затем устанавливалась уточненная траектория центра массы снаряда, т. е. траектория с учетом его вращательного движения. Этот процесс можно было продолжать дальше в зависимости от требуемой точности.

метод основы 109

Во внешней баллистике, начиная с 40-х годов, изучение сопротивления воздуха движению артиллерийского снаряда посредством аэродинамических труб со сверхзвуковыми скоростями также приобретает все больший размах. Например, в труде Б. Н. Окунева не только приводились описания аэродинамических труб различного типа, но и давалась методика пользования ими. В дальнейшем эта аппаратура применялась для определения аэродинамических коэффициентов как для снаряда в целом, так и для отдельных его частей. В частности, таким образом исследовалось влияние конструкций снаряда на величину лобового сопротивления. На Западе аэродинамические трубы также использовались для определения лобового сопротивления воздуха, величины подъемной силы п опрокидывающего момента.

метод основы 73

К началу 40-х годов теория движения вращающегося продолговатого снаряда была разработана достаточно обстоятельно. Одновременно создана и теория движения невращающегося оперенного снаряда. Все это явилось прочным фундаментом для построения теории полета ракет, опиравшейся в вопросах обеспечения устойчивостиполета на созданную ранее теорию. Следующим этапом должно было быть более строгое обоснование делавшихся предположений на основе новых экспериментальных средств исследования. Бурное развитие ракетной техники поставило задачу по экспериментальному изучению аэродинамических характеристик значительно более серьезно, чем ранее, требуя от опыта закономерностей их изменения для широкого диапазона: от сравнительно низких дозвуковых скоростей и до высоких гиперзвуковых. Это были вопросы сверхзвуковой аэродинамики или газодинамики, поставленные внешней баллистикой в результате исследования движения артиллерийского снаряда и продолженные после второй мировой войны в связи с прогрессом сверхзвуковой авиации и ракетной техники.

метод основы 34

о2 = В cos v, Ь2 = Ь sin v.

метод основы 81

В 20-х годах были поставлены и в первом приближении разрешены некоторые оптимальные задачи, связанные с полетом реактивных кораблей в атмосфере. Начало было положено Год- даром, который с точки зрения физики обосновал существование оптимального отношения масс. Гамель использовал для решения поставленной задачи действительно научный метод — вариационное исчисление. Наиболее строгое для своего времени решение рассматриваемой оптимальной задачи ракетодинамнки было дано Обертом. Относительно же влияния сопротивления воздуха он говорил в том же плане, что Гоманн и Эно-Пельтри. Оберт, в частности, замечал, что с высотой воздействие атмосферы становится все менее заметным в связи с ее понижающейся плотностью.

метод основы 11

Первый закон сопротивления воздуха для тела, перемещающегося с большой скоростью, был выведен во второй половине XVII в. двумякрупнейшими учеными — Ньютоном и Гюйгенсом, пришедшими к нему независимо один от другого. Это была квадратичная формула, нашедшая применение в баллистической практике со второй половины XVIII в. Ее продолжали употреблять и в дальнейшем для скоростей, не превышавших 240 м/сек. Формула Ньютона — под таким названием она получила известность в баллистической литературе — используется и теперь для сверхзвуковых скоростей. К этому закону сопротивления неизменно обращались ученые, занимавшиеся космической задачей уже в первой половине XX в.

метод основы 171

При вычислении траектории межконтинентальных ракет также стало необходимо принимать в расчет несферичность Земли. Этот фактор начали рассматривать при определении орбит искусственных спутников Земли для установления с возможно большей точностью их элементов движения. При этом пользовались методом малых возмущений. Такому пути следовал, например, тот же Уилон, который ввел и поправки на суммарные погрешности, вызванные неизвестными гравитационными аномалиями и неточным измерением основных геофизических параметров.

метод основы 22

общем методе псевдоскорость ^= Cos 6 зависит от ДВУХ параметров, Сиаччи ввел так называемые вспомогательные функции, которые позволяли легко находить элементы траектории в вершине и в точке падения.

метод основы 120

Феодосьев и Синярев приводили кривые аэродинамических коэффициентов для баллистической ракеты, летящей со скоростью, отвечающей числу il/=6. Для отдельных элементов ракеты характеристики устанавливались путем расчета или продувок этих частей в аэродинамической трубе. Затем после суммирования и соответствующей корректировки находилиаэродинамические характеристики для всей ракеты. Отмечая, что коэффициент момента сопротивления является функцией числа М, Феодосьев и Синярев обращали внимание на то, что он изменяется с увеличением высоты полета ракеты. Это объясняется тем, что в связи с выгоранием топлива центр массы ракеты перемещается вдоль ее продольной оси. Относительно коэффициента для экваториального тушащего (или демпфирующего) момента авторы сообщали, что для скоростей, меньших скорости звука, он остается постоянным, а свыше этой границы — изменяется в зависимости от скорости.

метод основы 173

Изложенные в книге Кооя и Ютенбогарта решения носят значительно более конкретный характер, чем исследования, проведенные учеными первой половины XX в. Однако результаты, приводимые голландскими авторами, все еще отличались • схематичностью. Дальнейшая конкретизация метода решения задачи о запуске космических кораблей появилась в конце 50-х годов. В это время теория воплотилась в действительность. В Советском Союзе, а позднее и в Соединенных Штатах Америки были выведены на орбиту искусственные спутники Земли и космические корабли. Здесь нет возможности останавливаться на истории решения этих проблем. Однако следует указать на книгу Александрова и Федорова, в которой, кроме других вопросов, оценивается влияние отдельных факторов (притяжение Луны и Солнца) на движение космического корабля.

метод основы 158

Затем Блан241 обращался к методу, использованному для интегрирования уравнения движения ракеты по вертикальной траектории, т. е. к методу итерации (§ 9 гл. II). Иными словами, траектория определялась для случая перемещения ракеты в пустоте с последующей оценкой поправочных членов, характеризующих влияние атмосферыи изменения плотности и силы тяжести с высотой. Допускалось, что в первом приближении, т. е. для безвоздушного пространства, угол между газовыми рулями и осью ракеты равен нулю. Поскольку программа управления полетом ракеты задана в функции от времени, так же как и закон уменьшения ее массы, интегрирование давало скорость центра инерции ракеты, а затем и его координаты.

метод основы 126

трудоемким. Задача была разрешена более удачно JI. Б. Комаровым. Исследование Комарова, наряду с теорией конечных разностей, теорией интерполирования и т. п., вошло в один из последних курсов внешней баллистики, вышедших в Советском Союзе.

метод основы 113

вой частью ракеты. Поэтому сопротивление, вызванное этим раз-, режением и известное под названием донного или хвостового, отсутствует. Этим объясняется тот факт, что при дозвуковых скоростях общее суммарное сопротивление ракеты понижается на 30%. При скоростях же, намного превышающих скорость звука, головное сопротивление играет определяющую роль. Изменения же в величине донного сопротивления, вызванные газовой струей, настолько малы, что ими можно пренебречь. Лобовое сопротивление, кроме того, намного меньше реактивной силы, поэтому эффект газовой струи становится совершенно неощутимым. Спустя 10— 15 лет после Россера и его соавторов точка зрения на роль газовой струи в общем осталась прежней.

метод основы 6

В XVII в. были изобретен^ термометр и барометр. Однако вплоть до конца XIX столетия, когда появились более совершенные метеорологические приборы и стали широко применяться воздушные шары, практически не было средств для систематического изучения физических свойств воздуха насколько-нибудь значительной высоте над уровнем моря. Но в XVII в. были открыты важнейшие законы физики, которые легли в основу метеорологии. Главным образом благодаря этим законам была получена возможность установить первое представление о структуре атмосферы. Используя в своих теоретических построениях экспериментальные данные о температуре и давлении у поверхности Земли, ученые и смогли сделать первые шаги в области аэрологии.

метод основы 4

Наконец, завершающая глава относится к перцоду второй мировой войны и последующему полутора десятку лет. Здесь показано развитие внешней баллистики и ракетодинамики в их взаимной связи. Предпринята попытка проиллюстрировать, каким образом ракетодинамика, отправляясь во многих вопросах от достижений внешней баллистики и использованных ею методов, пришла к современному прогрессу. Таким образом, во' второй главе демонстрируется преемственность идей и методов баллистики и ракетодинамики.

метод основы 80

В рассматриваемый период внимание ученых привлекал не только вопрос о запуске реактивных космических кораблей, но и теория движения аппаратов с реактивными двигателями в атмосфере. Так, например, в середине 20-х годов Ф. А. Цандер занимался теорией полета крылатой ракеты. Он считал сопротивление воздуха пропорциональным его плотности и квадрату скорости, принимая в расчет, кроме этой силы, еще подъемную силу и тягу. Центробежная сила, обусловленная криволиней- ностью траектории, не учитывалась, а ускорение силы тяжести считалось величиной постоянной. В середине 30-х годов полет крылатой ракеты или реактивного самолета изучал и Зенгер. Он исследовал движение этих аппаратов на различных высотах с дозвуковыми и сверхзвуковымискоростями.

метод основы 188

Кондратюк Ю. В. Завоевание межпланетных пространств. Новосибирск. 1929.

метод основы 94

В первой половине XX в. главное внимание уделялось решению задачи о полете ракет в космическом пространстве. Поэтому вопросам стабилизации посредством хвостового оперения или вращения ракеты вокруг ее продольной оси отводилось мало внимания. На вопросах управления полетом ракеты с помощью гироскопических устройств и газовых рулей в настоящей работе автор останавливаться не предполагает. Внешняя же баллистика создала в изучаемый период фундаментальную теорию движения вращающегося продолговатого снаряда. Были опубликованы исследования по теории движения оперенного снаряда (§ 6 гл. I). Установленные во внешней баллистике результаты, естественно, могли быть использованы при построении теории полета ракет и выработке критерия их устойчивости. Однако до второй мировой войны работы в этих направлениях проводились в очень узких рамках и сводились к немногочисленным статьям, освещавшим качественную сторону вопроса.

метод основы 52

Таким образом, в первой половине XX в. развитие методов вычисления траекторий артиллерийского снаряда по дугам привело к зарождению приемов, нашедших приложение в ракетодинамике. Одновременно исследование граничных задач позволило перенести результаты небесной механики в сферу внешней баллистики, явившейся одним из источников создания современной теории полета ракет.

метод основы 33

Новое в решении задачи о движении продолговатого вращающегося снаряда заключалось в составлении исходных дифференциальных уравнений в форме Эйлерадля понижающейся касательной, т. е. для криволинейной траектории. Эта задача была также разрешена Маиевским, использовавшим подстановку Де Спарра. Забудский привел решение своего учителя в изданном им курсе внешней баллистики. Маиевский и Забудский принимали угол нутации малым, что позволяло считать момент силы сопротивления воздуха пропорциональным этому углу. Их исследования не отличались строгостью. Но это была первая попытка решить задачу в ее более общей постановке, опираясь на аналитический метод, и отказаться от геометрических приемов, которые были использованы Сен-Робером и Маиевским в его более ранних трудах.

метод основы 175

Преемственность теории движения артиллерийского снаряда и теории полета баллистической ракеты можно усмотреть хотя бы в том, что Коой и Ютенбогарт дают в своей книге формальное изложение классической теории устойчивости артиллерийского снаряда. Правда, что касается теории вращательного движения снаряда, то как раз она-то используется для баллистических ракет в малой степени. Так, ракета 7-2 стабилизируется при помощи газовых или аэродинамических рулей, не сообщающих ей вращения вокруг продольной оси. Тем не менее Коой и Ютенбогарт сочли нужным посвятить теории движения продолговатого вращающегося снаряда видное место. Они придерживались решения Кранца и Шмундта, которые учитывали, кроме основных сил и моментов, еще и силу Магнуса (§ 5 гл. II). Голландские ученые останавливались на возможных случаях приближенного или численного интегрирования дифференциальных уравнений движения снаряда. Эти случаи определяются соотношением между величинами угла нутации и коэффициентом гироскопической устойчивости. Коой и Ютенбогарт так же, как Кранц и Шмундт, пользовались численным методом Рунге—Кутта, вошедшим в арсеналметодов ракетодинамики.

метод основы 149

При исследовании движения турбореактивного снаряда на активном участке траектории американские ученые, как и большинство их предшественников, момент инерции принимали постоянным, что, по их мнению, может иметь место при очень больших скоростях полета. Гироскопический эффект они считали определяющим фактором устойчивости ракеты в полете и решающее значение, кроме силы лобового сопротивления, придавали опрокидывающему моменту. Дэвис, Фоллин и Блитцер исследовали движение реактивного снаряда для многих частных случаев, пользуясь употребительными во внешней баллистике дифференциальными уравнениями движения. Затем, прибегая к принципу наложения или суперпозиции, они находили общее решение рассматриваемой задачи. Трудности заключались как в определении величин действующих на ракету сил и моментов, так и в том, что некоторые из них являлись нелинейными функциями угла атаки.

метод основы 75

Работы Мещерского, как уже говорилось, не нашли непосредственного приложения в трудах по ракетодинамике рассматриваемого периода. В первой половине XX в., особеннно в его начале, пользовались уравнениями движения точки переменной массы для различных предположений о схеме действующих сил, составленными чаще всего без достаточно строгого математического обоснования.

метод основы 24

§ 4. Важнейшие поправки в определении элементов траектории

метод основы 40

20 — у

метод основы 141

Основные результаты были получены Космодемьянским еще в 1941 г. и изложены в лекциях, прочитанных им вИнженерной военно-воздушной академии имени Н. Е. Жуковского и в Московском государственном университете. Позднее лекции Космодемьянского послужили основой его книги, вышедшей в свет в 1947 г. В Советском Союзе одновременно с ним к разработке механики тела переменной массы обратились И. П. Гинзбург, Ф. Р. Гантмахер и JI. М. Левин, а за границей — Ж. Ж. Джиар- ратана.

метод основы 42

Одна из задач, стоявшая в начале XX в. перед аэродинамикой и внешней баллистикой, заключалась в выявлении связи между силой лобового сопротивления воздуха и скоростью звука. После Маха новый шаг в этом направлении был сделан Жуге и, главным образом, Берстоу и Релеем.

метод основы 35

В начале столетия при изучении свойств нижних слоев атмосферы, которые только и были в то время доступны для обследования прямыми методами, пользовались главным образом змейковыми аэростатами, воздушными шарами и шарами-зондами. По данным Н. А. Рынина, шары-зонды достигали высоты 29 400 м, змейковые аэростаты — 20 ООО, воздушные шары с людьми—10000, дирижабли — 2000 и аэропланы — 1280 м. Эти же средства использовали для нужд внешней баллистики и в 20-х годах. Однако высоты, которых они достигали, были значительно ниже, чем писал Рынин, что заставляет относиться к его сведениям с осторожностью. Так, согласно Оттенхеймеру, самолеты, привязные змейковые аэростаты достигали всего лишь 3000 м. Что касается шаров-зондов, то высоты, на которые они поднимались, лежали в тех же границах, что и у Рынина. Они продолжали употребляться все в больших масштабах. Исследование атмосферы на сравнительное небольших высотах проводилось с помощью самолетов.

метод основы 95

ГЛАВАII

метод основы 18

Эйлер дал метод интегрирования дифференциальных уравнений движения центра массы снаряда, сведя решение к квадратурам и алгебраическим формулам. Он представил траекторию в виде последовательных дуг, заменяя их затем отрезками прямых. Это позволило найти приращения времени, абсциссы и ординаты, а в итоге получить искомую траекторию. Наконец, Эйлер разработал и принцип построения баллистических таблиц. В результате была не только разрешена основная задача внешней баллистики применительно к стрельбе из мортир, но и открыта возможность для составления таблиц стрельбы. Таким образом, наиболее существенная для XVIII в. задача была разрешена на основе аналитического метода.

метод основы 12

В начале XIX в. английским морским артиллеристом В. Муром была предпринята попытка вычислить траекторию центра инерции ракеты. Это было вызвано широким боевым использованием ракет в качестве зажигательных снарядов. Естественно,, встает вопрос, какие же механико-математические и баллистические начала брал за основу Мур?

метод основы 48

В связи с постановкой новых задач в стрельбе в 1914—1918 гг. в Соединенных Штатах Америки был предложен ряд методов, посредством которых можно было учитывать понижение плотности воздуха с высотой. Так, Гамильтон обратился к представлению траектории в виде последовательных малых дуг, которые он вычислял с помощью метода Сиаччи. В GIIIA прибегали также к составленным на основе этого метода таблицам, установленным Ин- гальсом еще в XIX в. В 20-х годах настоящего столетия в Соединенных Штатах Америки и в Англии были разработаны методы, опиравшиеся на определение времени прохождения снарядомначальной и конечной точек каждой из дуг, на которые разбивалась траектория. Кроме того, использовались формулы разностей. В США исходили из того, что вычисление тригонометрических функций можно выполнять с большей точностью, чем каких-либо других. В некоторых из методов закон сопротивления был выражен в форме ряда, расположенного по возрастающим степеням времени, причем ограничивались первым членом разложения. Еще в одном из американских методов закон сопротивления был представлен в виде обратной функции времени.

метод основы 20

Аналитические методы, основанные на приближенном интегрировании дифференциальных уравнений движения снаряда, отличались преимущественно видом подстановки. К таким методам

метод основы 154

Из результатов ракетодинамики, установленных на раннем этапе ее развития, но продолжавших использоваться и в настоящее время, следует назвать формулу для скорости при полете ракеты вне поля силы тяжести при отсутствии сопротивления воздуха. Эта скорость была названа характеристической, а формула, как уже говорилось (§ 7 гл. I), получила известность под именем Циолковского. Для примера можно назвать несколько капитальных работ, посвященных теории полета баллистических

метод основы 190

Blanc P. Principe de la balistique exterieure des engins autopropulses type

метод основы 63

Из сказанного видно, что задача о движении снаряда с учетом кривизны земной поверхности, изменения силы тяжести по величине и направлению, а главное, суточного вращения Земли начала разрабатываться еще до того, как в ее решении возникла практическая необходимость (§ 4Введения). Она подверглась всестороннему исследованию еще до первой мировой войны. Эта задача явилась предметом изучения таких крупнейших баллистиков, как Шарбонье, Кранц, Забудский и Мультон. В результате был создан фундамент, послуживший не только для решения многих вопросов баллистики во время второй мировой войны, но и использованный позднее в ракетодинамике, в первую очередь при вычислении траектории баллистических ракет, спутников Земли и, конечно, космических кораблей.

метод основы 60

Изучению воздействия суточного вращения Земли на траекторию Шарбонье также уделил видное место в своем курсе внешней баллистики. Позднее его работа получила большую известность. Он следовал Сен-Роберу, уделяя серьезное внимание физическому осмыслению рассматриваемых явлений. Исходя из решения простых задач, Шарбонье переходил к более сложным случаям. При интегрировании дифференциальных уравнений, определяющих движение снаряда в его перемещении относительно вращающейся Земли, Шарбонье пренебрегал членами Q42 и более высокими степенями Qt, но сохранял члены, содержавшие

метод основы 102

В середине 40-х годов настоящего столетия в авиации были достигнуты скорости, близкие к звуковой, в то время как скорости ракет уже превзошли эту границу. При обтекании тел воздушным потоком со звуковыми и сверхзвуковыми скоростями возникают новые явления, и газодинамика сталкивается с совершенно иными проблемами, чем при обтекании тел дозвуковым потоком. Эти проблемы, достаточно разработанные внешней баллистикой, требовали изысканий в ином плане, связанном с решением задач газодинамики применительно к развитию новой техники. После окончания второй мировой войны одна из важнейших проблем газодинамики, которойпродолжали уделять серьезное внимание, заключалась в исследовании течений с большими дозвуковыми скоростями. В это время сведения ограничивались почти одним лишь пониманием физической сущности явления. Область сверхзвуковых течений была исследована намного полнее, раскрыта не только физическая природа явлений, но дана и их математическая интерпретация. Такое положение сложилось вопреки тому, что изучение аэродинамики сверхзвуковых скоростей началось позднее, чем дозвуковых. Уровень развития газодинамики к концу второй мировой войны был таким же, как уровень аэродинамики звуковых скоростей к 1914 г.

метод основы 68

Большой систематичностью и стройностью изложения отличалась работа Б. Н. Окунева. Она основана на единстве методов решения задачи о движении вращающегося продолговатого снаряда для постепенно усложняемых случаев.

метод основы 117

Основные аэродинамические коэффициенты — лобовое сопротивление воздуха, подъемная сила и момент сопротивления — мало меняются по величине до тех пор, пока скорость снаряда не приблизится к звуковой. При дальнейшем увеличении скорости величина всех этих характеристик резко возрастает. Но если коэффициент лобового сопротивления воздуха изучен достаточно полно, то для коэффициента подъемной силы стрельбы по картонным щитам и продувки все же давали лишь приближенные данные, о чем свидетельствуют некоторые работы середины 50-х годов. Коэффициент момента сопротивления имеет максимум в районе скорости звука и по характеру своего изменения в зависимости от скорости напоминает коэффициент лобового сопротивления.

метод основы 108

После окончания второй мировой войны все большеераспространение получают различного типа аэродинамические трубы со сверхзвуковым потоком. Они использовались как для продувки моделей самолетов, так и при испытании моделей ракет. Здесь нет возможности сколько-нибудь подробно останавливаться на многочисленных работах, посвященных применению аэродинамических труб для исследования названных проблем. Достаточно сказать об общем направлении их использования.

метод основы 144

В итоге Россер, Ньютон и Гросс изучили влияние различных факторов на рассеивание ракет, обращая особое внимание на воздействие эксцентриситета реактивной силы. Они исследовали также полет ракеты при специфических условиях стрельбы, например при запуске с самолета, в безвоздушном пространстве и т. п. Разбирался и случай, когда ракета обладает постоянным угловым ускорением. Установленные теоретические результаты были применены ими для решения конкретных задач.

метод основы 118

Таким образом, вопрос об аэродинамических характеристиках был освещен в книге Кооя и Ютенбогарта и в работе Блана, где трактовались задачи, связанные с полетом управляемой баллистической ракеты среднего радиуса действия. Естественно, что определение аэродинамических коэффициентов могло остаться вне поля зрения специалистов, занимавшихся теорией полета неуправляемых пороховых ракет.

метод основы 16

г g До 1 1

метод основы 111

метод основы 133

Более обстоятельно на вычислении активного участка траектории останавливался Карьер. По-видимому, он излагал метод, который в двух предыдущих работах толькоупоминался. Карьер исходил из уравнений движения центра массы ракеты по касательной к траектории

метод основы 139

В 1957 г. Комаров опубликовал приближенный аналитический метод вычисления активного участка траектории, приведенный также и в упоминавшейся книге трех авторов. Этот метод можно было употреблять при любом соотношении между величинами реактивной силы и сопротивления воздуха, а также для большого времени сгорания заряда. Для того чтобы проинтегрировать дифференциальное уравнение движения, составленное по направлению касательной к траектории, были приняты следующие допущения: температура и плотность воздуха с высотой не меняются; угол между касательной к траектории и горизонтом заменяется постоянной средней величиной. Комаров вводил также и

метод основы 86

§ 8. Использование результатов исследований по баллистике и аэродинамике в теории полета ракет

метод основы 2

В книге рассматривается ракетодинамика как пороховых ракет ближнего действия, так и баллистических и межконтинентальных управляемых ракет на жидком топливе. Освещаются и некоторые вопросы, связанные с движением искусственных спутников Земли и космических кораблей. Главное внимание уделено вычислению траектории центра массы пороховых неуправляемых, и особенно управляемых ракет на жидком топливе, так как именно в решении этой проблемы и произошли коренные усовершенствования, которые определили современный прогресс ракетодинамики. Для выяснения преемственности в разработке проблем внешней баллистики и ракетодинамики, а также в использованных при этом методах в книге освещается история решения следующих проблем внешней баллистики: изучение законов из-мененпя физических характеристик атмосферы с высотой; исследование сопротивления воздуха движению артиллерийского снаряда; решение основной задачи внешней баллистики в плане вычисления траектории центра инерции снарядов для дальней и сверхдальней стрельбы; исследование движения снаряда около его центра массы; поправки на суточное вращение Земли, на изменение силы тяжести по величине и направлению и на кривизну земной поверхности — возмущений, 'играющих важную роль при вычислении траектории для сверхдальней стрельбы.

метод основы 161

Как явствует из сказанного выше, важнейшим агрегатом для управляемых ракет служит радиоэлектронная аппаратура, предназначенная для моделирования траектории" их полета. Вычислительные машины, размещенные на Земле или на борту ракеты, позволяют направить ее полет должным образом, заставить следовать заданной траектории с тем, чтобы она попала в нужную точку.

метод основы 36

Имевшиеся в начале XX в. в аэрологии средства исследования позволили выявить новые закономерности в изменении физических свойств атмосферы с высотой. Эти результаты почти без изменения сохранились до середины столетия и легли в основу внешней баллистики и развивающейся ракетодинамики. В это время ученых продолжал интересовать вопрос о протяженности земной атмосферы. Было, в общем, выяснено, что ее верхнюю границу установить не представляется возможным. Достаточно сказать, что уже в 1910 г. северные сияния были зафиксированы на расстоянии 400 км от земной поверхности, что подтверждало наличие там атмосферы.

метод основы 19

В большой группе работ, принадлежавших Эйлеру, Борда, Ламберту, Франсе и Отто, абсцисса траекторииили ее ордината были представлены в виде рядов, расположенных по возрастающим степеням времени t. В других исследованиях, например Темпельгофа и Франсе, абсциссы и ординаты были выражены в форме рядов с членами, возрастающими по степеням где

метод основы 26

Интересно отметить, что сила земного тяготения и сила инерции переносного движения фигурировали у Сен-Робера раздельно и не были объединены в силу тяжести, которую они составляют.

метод основы 10

В XVIII, а главным образом в XIX в. работы в области изучения сопротивления воздуха движению артиллерийского снаряда — тела, перемещавшегося в то время быстрее других искусственных объектов, и были направлены на выявление факторов, влиявших на величину силы лобового сопротивления воздуха. Прежде всего, это была скорость движения снаряда. С развитием техники эксперимента расширялся и диапазон получаемых скоростей, что открывало новые закономерности в характере изменения силы сопротивления воздуха в зависимости от скорости. Было необходимо объяснить и обосновать эти явления. С другой стороны, для решения задач внешней баллистики выявленные закономерности природы требовали новых средств для их математического представления, более совершенных форм для выражения закона сопротивления воздуха. Формулы закона сопротивления становились сложнее. Это в свою очередь заставляло искать болёе простых и удобных методов вычисления траектории артиллерийского снаряда.

метод основы 174

Сопротивление атмосферы вызывает изменения формы орбиты спутника и снижает скорость его движения. Александров и Федоров, рассматривавшие эти непрерывные изменения, останавливались на связанных с нимиаэродинамических свойствах спутника. Они анализировали влияние на форму орбиты аэродинамического коэффициента сопротивления и величины поперечной нагрузки — параметров, уже давно известных во внешней баллистике и определяющих лобовое сопротивление артиллерийского снаряда. Александров и Федоров приводили закономерности, связывающие перечисленные параметры с временем полета спутника.

метод основы 99

О мезосфере (50—100 км) имелись главным образом качественные данные о характере изменения температуры. Это .можно было объяснить тем, что такая область высот оставалась малодоступной для изучения прямыми методами, в том числе и ракетами. Согласно материалам 1951 г. Международного геодезического и геофизического союза, температура в этой области убывала с расстоянием до высоты в 80 км. В работах, изданных в 1953 г. и позднее, приводятся довольно единообразные данные о нижней границе, до которой падает температура в мезосфере. Чаще всего фигурирует величина в 200—205° К. Менее достоверным кажется число 255° К, которое называет Митра, говоря о резком понижении температуры после теплового максимума порядка 205° К на высоте в 60 км.

метод основы 51

Шарбонье и Кранц составили дифференциальное уравнение движения снаряда в полярных координатах и проинтегрировали его, пользуясь известным законом Кеплера о площадях и уравнением кривых конических сечений. В результате были найдены условия, при соблюдении которых могут быть получены траектории различного типа: эллипс, парабола, гипербола и окружность. В частности, Шарбонье и Кранц установили и ввели в баллистическую литературу величину первой и второй космических скоростей, хотя они и не употребили самого термина. Затем Шарбонье и Кранцпоказали, каким образом изменяется форма траектории снаряда при постепенном увеличении его начальной скорости для случаев, когда снаряд выбрасывается горизонтально, вертикально вверх или под углом к горизонту. Они обратили внимание, что при условии, когда пренебрегают действием на снаряд силы сопротивления воздуха, его траектория представляет собой не дугу параболы, а эллипса. Однако ввиду малых по сравнению с радиусом Земли дальностей, встречающихся в артиллерийской практике, можно не учитывать изменение силы тяжести С высотой и считать траекторию параболической.

метод основы 59

Задача по учету изменения силы тяжести по величине и направлению оказалась наиболее простой, и ее решение не претерпело сколько-нибудь существенных изменений на протяжении первой половины настоящего столетия. Одним из первых рассматривал этот вопрос Шарбонье. Изменение силы тяжести по направлению вызвано двумя причинами: во-первых, сходимостью вертикалей к центру Земли и, во-вторых, несферичностью ее поверхности. Вторая из этих причин вносила очень малые отклонения по сравнению с первой, и Шарбонье счел возможным не принимать ее в расчет. Он обосновывал свое допущение сравнительно небольшими дальностями, с какими имела дело артиллерия в его время. Нужно заметить, что эллипсоидальная форма земной поверхности п поныне не принимается в расчет во внешней баллистике. В ракетодинамике этот фактор начали учитывать в середине 50-х годов в связи с разработкой проблем запуска межконтинентальных ракет и искусственных спутников Земли (§ 8 гл. II).

метод основы 170

Феодосьев и Синярев, так же как и Генри, теорию полета ракеты вне атмосферы первоначально излагали в предположении, что скорость ракете сообщена мгновеннопри старте на уровне моря. В работе были исследованы траектории с тем, чтобы иметь исходные параметры для расчета активного участка. Для каждой дальности устанавливался и оптимальный угол между касательной к траектории и горизонтом для момента выключения двигателя. Была найдена и скорость, нужная для получения различных дальностей.

метод основы 178

•Одним из первых, кто обратился к исследованию движения ракеты около ее центра инерции при входе ракеты в плотные слои атмосферы, был Людвиг. Первоначально он пренебрегал связью колебаний оси ракеты с отклонениями касательной к траектории, вызываемыми подъемной силой. Затем Людвиг составил дифференциальные уравнения колебательного движения для угла атаки в зависимости от времени. Плотность воздуха он считал функцией времени, изменяющейся по экспоненциальному закону. Пользуясь приближенными и численными методами интегрирования, он пришел к формулам, позволявшим оценить влияние, которое оказывает колебание ракеты на величину угла атаки.

метод основы 128

§ 5. Решение задачи о движении вращающегося или оперенного артиллерийского снаряда

метод основы 140

Динамика тела переменной массы была положена в основу теории полета пороховой неуправляемой ракеты. До середины настоящего столетия проектировались, а иногда и изготовлялись самолеты с воздушно- и турбореактивными двигателями, а также ракеты как пороховые, так и на жидком топливе. Это должно было стимулировать развитие теоретических областей, одной из которых и была динамика тела переменной массы. Ее основы были заложены в конце XIX и в начале XX в. Мещерским, Циолковским, Годдаром, Обертом, Эно-Пельтри и другими учеными (§ 7гл. I) в виде отдельных теорем динамики точки переменной массы. В области же динамики твердого тела переменной массы в 30-х годах известна одна лишь работа Агостинелли. Основываясь на уравнении Леви-Чивита, он сформулировал общие теоремы динамики тела переменной массы. Однако Агостинелли не принимал во внимание перемещение центра массы тела по отношению к связанным с ним осям координат. Поэтому установленные им положения были справедливы только для случая, когда относительным перемещением этой точки можно пренебречь.

метод основы 8

Р а

метод основы 87

Обстоятельнее других писал о структуре атмосферы Эно-Пельтри. Он также подразделял ее на тропо- и страто- сферу. Верхняя граница первой области была установлена в 10.5 км, т. е. такой же, как в аэрологии, аэродинамике и внешней баллистике. Эно-Пельтри стремился выяснить высоту, на которую распространена вторая область — стратосфера. Правда, экспериментальных данных было недостаточно, почему его концепция в целом оказалась ошибочной. Приходилось ограничиваться результатами, относящимися к высоте в 20 км — потолок, в то время чаще всего достигаемый шарами-зондами. Эно- Пельтри считал, что в дальнейшем обследование высоких слоев атмосферы можно будет проводить с помощью ракет.

метод основы 180

Прежде всего, Годдар верно поставил исследуемую задачу, заметив, что для достижения ракетой требуемой высоты существует минимальное отношение масс. Он объяснил это тем, что при большой скорости полета ракеты сопротивление воздуха велико. При малой же скорости она затрачивает большое время на преодоление силы тяжести. И в том и другом случае требуется значительная масса топлива. Годдарприводил установленное им дифференциальное уравнение движения к форме, содержащей в качестве независимой переменной пройденный центром инерции ракеты путь у. Такой вид уравнения был удобен для решения и поэтому заслуживал внимания.

метод основы 105

Одна из актуальных задач, стоявших перед аэродинамикой в конце 40-х и начале 50-х годов, имела целью изучить явления, связанные с волновым кризисом. Волновое сопротивление может возникать и при скоростях в обтекающем потоке, меньших скорости звука. Если поток у поверхности тела достигает местной скорости звука, то скорость тела называется критической. Явление же сильного возрастания сопротивления, в результате которого наблюдаются резкие скачки уплотнения, принято называть волновым кризисом. При этом характер обтекания претерпевает качественные изменения. Встает вопрос об управляемости и устойчивости летательного аппарата. Естественно, что эти проблемы стали особенно насущными в годы, когда в эксплуатацию вводились высокоскоростные реактивные самолеты и испытыва- лись ракеты дальнего действия. Литература по аэродинамике больших скоростей чрезвычайно обширна. В качестве иллюстрации достаточно указать лишь на некоторые книги в этой области, трактующие, в частности, об образовании ударных волн и возникновении волнового кризиса.

метод основы 78

При определении условий получения эллиптической, параболической, гиперболической и круговой орбит Оберт и Эно- Пельтри исходили из одних и тех же положений: уравнения живых сил для материальной точки, перемещающейся в поле центральной силы; второго закона Кеплера (закона площадей) и общего уравнения кривых конических сечений. Эти же начала были использованы в работах Шарбонье и Кранца,рассматривавших вопрос в баллистическом плане (§ 3 гл. I). Очевидно, что все они — Оберт, Эно-Пельтри, Шарбонье и Кранц — основывались на трудах по астрономии, в которых Изучаемая ими задача также освещалась, но уже в другом аспекте.

метод основы 110

Изучение сопротивления воздуха на модели было, в сущности, открыто опытами Фаулера, Геллопа, Локка и Ричмонда стрельбой по картонам (§ 6 гл. I) — средство, остававшееся эффективным и в середине настоящего столетия. Однако по прошествии нескольких десятилетий после стрельб, проводившихся английскими учеными, радиоэлектронная техника шагнула далеко вперед.

метод основы 55

Большое значение в совершенствовании метода численного интегрирования имела работа Упорникова, в которой он основывался на дифференциальных уравнениях по аргументам х ж у. Упорников провел кропотливую работу по сопоставлению между собой ряда вариантов, различавшихся главным образом аргументами в дифференциальных уравнениях. В результате было установлено, что по точности сравниваемые варианты примерно идентичны между собой. Они представляли большее или меньшее удобство в зависимости от решаемой задачи, определяемой диапазоном в изменении угла возвышения, начальной скорости и т. п. Это дало возможность усовершенствовать метод в направлении простоты и удобства его применения. Улучшения метода Адамса—Стермера—Крылова были проведены и другими отечественными баллистиками. Их внимание было обращено на целе

метод основы 156

рировать и при решении более общей задачи, чем рассмотренные выше.

метод основы 185

Анализируя направления в решении оптимальныхзадач, связанных с движением реактивных аппаратов вблизи от поверхности Земли, необходимо остановиться и на работах Мила. В них был дан общий обзор вариационных задач, характеризуемых линейной зависимостью функционала и уравнений связи от производных искомых функций. Он критически рассмотрел проблемы механики полета ракет в пределах земной атмосферы и методы их решения. Были изучены приемы определения экстремумов и методов вариационного исчисления для установления оптимальных параметров и траекторий летательных аппаратов разного типа. В статье Мила и Каппелари исследовались вариационные задачи, связанные с оптимальным программированием вектора тяги. Авторы вводили в рассмотрение аэродинамическое сопротивление, кривизна же поверхности Земли и ее суточное вращение во внимание не принимались.

метод основы 44

Таким образом, в 20-х годах теоретически была обоснована необходимость принимать во внимание влияние изменения температуры воздуха с высотой на силу сопротивления. Учет этого фактора был нужен для того, чтобы использовать последнее достижение теории для практических нужд артиллерии. Эту задачу и преследовали работы, вышедшие в свет сразу же после появления исследований Дарье и Ланжевена.

метод основы 135

Наряду с методами, разработанными во внешней баллистике еще в XIX в., Дэвис, Фоллин и Блитцер использовали таблицы Абердинского полигона, вычисленные уже в 50-х годах настоящего столетия. Этими таблицами предлагалось пользоваться для определения пассивной части траектории, когда угол 0о значителен, а скорость ракеты в конце активного участка велика. Они были составлены с учетом изменения плотности воздуха с высотой на основе численного метода интегрирования. Дэвис и егосоавторы подчеркивали, что при составлении новых таблиц целесообразно применять высокоскоростные электронные вычислительные машины. Таким образом, перед вычислительной техникой открывалась перспектива применения при расчетах траектории центра инерции пороховых неуправляемых ракет.

метод основы 70

Наиболее полное и строгое решение задачи о движении продолговатого вращающегося снаряда было дано В. С. Пугачевым. Он рассмотрел полную систему аэродинамических сил и моментов, установленную английскими учеными. При этом он исходил из уравнения количества движения и из уравнения момента количества движения. Они были получены в векторной форме еще английскими авторами. Пугачев же привел их к аналитическому виду. После упрощения этих уравнений он нашел основные элементы движения в форме квадратур, провел исследование интегралов установленной системы и показал их неустойчивость по А. М. Ляпунову. Эта неустойчивость сводилась к тому, что при любых значениях величин, характеризующих орудие или снаряд, всегда найдутся такие условия, при которых снаряд будет лететь неправильно. Однако критерий устойчивости по Ляпунову практического значения не имел. Достаточно было, чтобы ось снаряда отклонялась от касательной к траектории в определенных узких границах. В этом предположении «послушного» полета снаряда Пугачев предлагал приближенное решение, основанное на допущении, что вращательное движение снаряда мало сказывается на перемещении его центра массы.

метод основы 100

Развитие экспериментальных средств позволило не только установить закономерности изменения температуры атмосферы с высотой, но и объяснить их природу. Помимо классификации атмосферы по изменению температуры, предлагались и некоторыедругие принципы. Так, например, Митра, а также Мейлон и Чепмен, на которых он ссылался, разграничивали атмосферу на среднюю — между 60 и 80 км — и на верхнюю область, или экзосферу, простирающуюся до перехода в космическое пространство. Эти же авторы писали и об ионизированных слоях атмосферы между 90 и 200 км. Было установлено, что степень ионизации изменяется с высотой и ее плотность не одинакова для различных зон. Поэтому ионосфера разделена на области с повышенной ионизацией.

метод основы 157

При решении перечисленных задач, т. е. уже в процессе разработки конструкции ракеты, используются электронные вычислительные машины. Естественно, что к такому высокому уровню развития вычислительной техники пришли в итоге большой и длительной работы над радиоэлектронной аппаратурой. Для выбранной программы изменения угла тангажа основным фактором, определяющим дальность, служит скорость в момент выключения двигателя. Отклонения в координатах точки конца активного участка играют меньшую роль. Для установления этого момента служит интегратор осевой перегрузки или ускорения. Двигатель выключается иногда и в зависимости от пройденного ракетой пути, для чего применяется дважды интегрирующее устройство. В качестве исполнительных органов служат аэродинамические и газовые рули, связанные с гироскопом.

метод основы 151

Молитц и Стробел составляли систему дифференциальных уравнений движения по времени t, которую можно было проинтегрировать только численно. Для анализа этой системы они обратились к комплексной переменной, используя при этом относительные величины. Допускалось, что углы, входящие в выражения для аэродинамических и реактивных сил и моментов, малы. Это позволяло опуститьсоответствующие члены. В итоге авторы получали в первом приближении скорость центра инерции ракеты, что давало им возможность найти другие параметры движения в функции от времени. Таким образом, Молитц и Стробел уже не пытались решать нелинейную задачу. Их исследование, как и большая часть работ такого рода, построено на применении приближенных методов.

метод основы 97

В начале 40-х годов представление о структуре атмосферы оставалось таким же, как и десять лет назад. Это объяснялось, как уже говорилось, сравнительно небольшими верхними границами атмосферы, которые могли быть непосредственно обследованы с помощью имевшейся техники. Уровень знаний об атмосфере нашел отражение и в трудах по внешней баллистике, вышедших в первые годы второй мировой войны. Так, Б. Н. Оку- нев ограничивает атмосферу высотой в 400—500 км, отмечая, что только некоторые авторы называют границу в 1000 км. Как и прежде, атмосфера подразделялась на тропо- и стратосферу, причем верхняя граница второй из этих зон установлена не была, так как изученные высоты не превышали 40—50 км. Только с использованием ракет в баллистической литературе появились новые сведения об атмосфере.

метод основы 84

ставил уравнение полета ракеты по вертикали вверх в однородном поле силы тяжести для закона сопротивления воздуха, выраженного в общей форме в функции от высоты и от скорости. Интегрировать это уравнение Душкин рекомендовал также численно.

метод основы 179

Рассматриваемые проблемы ракетодинамики часто сводились к решению задач, изучаемых нелинейной механикой. В этом отношении ракетодинамика исходила из задач внешней баллистики и, следуя тому же направлению,пошла, естественно, много дальше. Разрешение новых проблем требовало принятия в расчет нелинейных членов аэродинамических характеристик. Что касается методов исследования, то они, так же как и при решении аналогичных задач внешней баллистики, основывались на приближенных приемах. Только в случае необходимости иметь более точные решения обращались к численным методам.

метод основы 39

Н (у) = (1-2.19 • 10Л)4'4.

метод основы 107

§ 3. Аэродинамические силы и моменты.

метод основы 38

В России стандартная атмосфера, названная условной, была принята в результате обработки метеорологических наблюдений, проведенных в 1905—1914 гг. в аэродинамической лаборатории в Кучине. Позднее эти данные легли в основу введенной в СССР Международной атмосферы. Во внешней баллистике нормальные условия были приняты в начале XX в., когда еще не всегда учитывали понижение плотности воздуха с высотой.

метод основы 74

При движении точки переменной массы происходит отделение или присоединение частиц, в результате чего ее масса уменьшается или увеличивается. Отбрасывание или присоединение частиц с некоторой относительной скоростью приводит к появлению силы, названной Мещерским «прибавочной» вследствие тех добавочных членов, которые она дает в уравнении движения. Для случая отделения частиц эта сила получила название реактивной, или просто тяги. Эти силы, как только что было сказано, отразились на форме дифференциального уравнения движения, и Мещерский показал, каким образом его следует представить.

метод основы 47

В первойполовине XX в. было создано множество методов вычисления элементов траектории артиллерийского снаряда для навесной и прицельной стрельбы, не получивших сколько-нибудь широкого распространения, а главное, не представляющих интереса в плане предлагаемой книги. Имеет смысл сказать сперва несколько слов о тех аналитических приемах, которые были использованы для решения задач, представлявших как бы граничные случаи.

метод основы 150

Одним из наиболее важных из встречающихся случаев является тот, когда можно пренебречь влиянием угла атаки вследствие его малости. Это позволяет найти траекторию центра массы турбореактивного снаряда, полет которого на пассивном участке траектории не отличается от движения артиллерийского снаряда. Дэвис и его соавторы рассматривали также задачу, когда угол атаки достигает значительной величины. Они допускали, что скорость центра инерции ракеты и угловая скорость ее вращения вокруг продольной оси постоянны по величине. Рассматривался только опрокидывающий аэродинамический момент, линейно зависящий от угла атаки. Лишь после этого исследовалось влияние других сил и моментов. Затем было изучено воздействие вращения ракеты на изменение траектории ее центра массы для переменной скорости. Однако аналитическое решение задачи оказалось сложным. Авторы верно замечали, что наиболее быстро результат можно получить с помощью электронных вычислительных машин.

метод основы 15

Большую известность, особенно во Франции, не только в XIX, но и в XX вв. получил закон, названный «Гаврским» в честь города, где работала установившая его комиссия. Ее членами были Эли и Гюгоньо. Закон был выведен для цилиндрических снарядов с оживальной головной частью и представлен в виде сложнойаналитической зависимости.

метод основы 45

R (v) = су (p)-f с'ф (У),

метод основы 134

Дифференциальные уравнения (II, 1) и (II, 2) служили исходными и для И. П. Гинзбурга. Скорость центра инерции ракеты он находил в предположении, что лобовым сопротивлением воздуха и силой тяжести по сравнению с тягой можно пренебречь. Это доказывалось тем, что отбрасываемые члены отражают изменение скорости ракеты для конца активного участка только на 2.5%. Угол между касательной к траектории и горизонтом для момента сгорания топлива он получал в результате интегрирования дифференциального уравнения (II, 2) при допущении, что ускорение центра инерции ракеты на активном участке можно считать постоянным и брать в виде среднего значения. Пройденный путь устанавливался на этом же основании или из известного выражения для скорости.

метод основы 53

Метод Адамса—Стермера был создан для решения задач физики и астрономии. Его математическими основами служили теория конечных разностей и теория интерполирования. Первоначально этот метод был предложен Адамсом и приведен в книге Башфорта, посвященной вопросам капиллярности. Адаме предложил здесь формулу косой строки, построенную на конечных разностях. Она учитывала высшие степени разностей и была наиболее точной из формул такого тина.

метод основы 71

Теория вращающегося продолговатого снаряда предшествовала и во многом подготовила исследования по движению оперенных снарядов. Это было еще одно направление работ, явившихся фундаментом для построения теории полета современных оперенных реактивных снарядов и ракет. Начало было положеноразработкой во время первой мировой войны теории полета авиа- цинной бомбы.

метод основы 32

Трудом Маиевского первостепенной важности была его работа 1865 г. Здесь он во многом следовал Сен-Роберу, например в представлении траектории в виде отдельных участков. Система действующих сил и моментов была у Маиевского та же, что и у его предшественника. Однако в определение момента силы сопротивления воздуха Маиевский внес большую ясность в результате своих опытов с 4-фунтовым продолговатым снарядом. Для углов нутации 6^20° им была принята формула

метод основы 124

Разработанный во Франции еще в первой половине столетия метод вычисления траектории по дугам продолжал успешно применяться в 50-х годах, причем не только для решения задач сверхдальней стрельбы. Это подтверждается тем, что Гарнье обстоятельно передавал в упоминавшейся работе методы GH и GHM. Их излагали и другие авторы. Таким образом, во . Франпии аналитические методы, основанные на представлении траектории снаряда в виде ряда последовательных дуг, продолжали оставаться господствующими, в то время как в других государствах (Советском Союзе, Соединенных Штатах Америки и Германии) все большее место занимали численные приемы.

метод основы 162

Упомянутые интеграторы являлись механическими прототипами электронных вычислительных машин аналогового типа, которые нашли столь широкое употребление в ракетной технике. Таким образом, они имели своих предшественников среди аппаратуры, которая была создана для решения задач баллистики.

метод основы 129

В 40—50-х годах большое внимание уделялось решению задачи одвижении артиллерийского снаряда под действием аэродинамических сил и моментов, включавших и те, которые раньше чаще всего в расчет не принимались. Лишь в некоторых работах первой половины столетия (§ 6 гл. I) учитывались все эти характеристики. В качестве примера работ середины столетия, в которых решалась задача в более широком предположении о схеме действующих сил и моментов, можно назвать труд Окунева.

метод основы 46

R(u) = CЈb?S

метод основы 29

мнению, и приводила к случайным отклонениям вращающегося сферического снаряда. Установленная Пуассоном сила действовала в сторону, противоположную той, которая была выявлена Робинсом.

метод основы 56

Разрабатывая метод вычисления траектории снаряда для зенитной стрельбы, Мультон воспользовался численным методом, служившим для определения орбит небесных тел и имевшим распространение в небесной механике. Это был метод Адамса, который в Соединенных Штатах, как и в нашей стране, вошел во

метод основы 122

Гарнье едва ли можно согласиться, так как в баллистическом плане вопрос трактовался еще Шарбонье и Кранцем, а в аспекте решения космической задачи — Циолковским, Годдаром, Обертом, Эно-Пельтри и другими учеными.

метод основы 28

вает неравномерное распределение давления воздуха на поверхности снаряда. Там, где скорость вращательного движения направлена в сторону встречного потока воздуха, возникает уплотнение, а с противоположной стороны, где эти скорости имеют одно и то же направление, — разрежение. В результате и возникает сила, вызывающая девиацию.Теперь она известна под названием силы Магнуса, открывшего ее, по-видимому, независимо от Робинса в результате своих опытов, проведенных в середине XIX в. Стало быть, кроме уже известных сил, баллистики XVIII в. при изучении движения артиллерийского снаряда как твердого тела рассматривали и силу Магнуса.

метод основы 67

Несмотря на установленные в Англии результаты, свидетельствовавшие о широкой системе сил и моментов, действующих на вращающийся продолговатый снаряд, главные исследования во второй четверти XX в. были направлены по прежнему руслу — на исследование задачи Маиевского, продолжавшей привлекать внимание баллистиков. Особенно многочисленны были работы Бурцио и д'Адемара. В частности, Бурцио привел доказательство установленной Маиевским закономерности изменения угла нутации вдоль траектории и предложил численно интегрировать выведенные им дифференциальные уравнения движения снаряда. Позднее, д'Адемар уточнил исследование Бурцио и дал более строгое доказательство результатов Маиевского — вывода формул, относящихся к движению снаряда на начальном участке траектории, когда скорость центра массы изменяется незначительно, а траектория близка к прямолинейной.

метод основы 88

метод основы 187

Александрове. Г. и Р. Е. Федоров. Советские спутники и космическая ракета. Изд-во АН СССР, М., 1959..

метод основы 186

В более поздних работах Лоуден исследовал проблему определения оптимальных траекторий для более широкого круга допущений. В дополнение к условиям, взятым им ранее, он рассматривал, кроме силы тяготения, также и аэродинамическое сопротивление,являющееся функцией скорости. Найденное общее решение проиллюстрировано Лоуденом на конкретном примере определения оптимальной траектории ракеты, выброшенной вертикально вверх. Ускорение силы тяжести принималось величиной постоянной, а сопротивление воздуха — пропорциональным квадрату скорости. Наконец, Лоуден поставил и частично разрешил проблему по нахождению оптимальной траектории для перехода реактивного корабля с одной орбиты на другую. При этом допускалось, что орбиты не компланарны.

метод основы 5

За исследуемый период вышло в свет огромное количество работ, посвященных самым разнообразным вопросам ракетодинамнки. Их число возрастет еще более, если принять во внимание работы по смежным с ракетодинамикой областям. В процессе подготовки монографии автору пришлось изучить около 500 книг и статей, что далеко не охватывает весь перечень работ, которые можно было бы привлечь. Сюда не входят и работы, вышедшие после 1960 г. Однако использованный материал уже позволил прийти к ряду интересных заключений.

метод основы 181

Как уже говорилось, Годдар и Оберт подходили к решению рассматриваемой ими оптимальной задачи не строго, что объяснялось главным образом примитивностью использованных ими методов. Первый, кто применил метод вариационного исчисления к решению такого рода задачи, был Гамель. Правда, он дал лишь схематическое исследование, но главное заключалось в распространении вариационного исчисления на решение оптимальных задач ракетодинамики.

метод основы 127

В рассматриваемый период при вычислении траектории артиллерийского снаряда продолжали принимать в расчет суточное вращение Земли, кривизну ее поверхности иизменение ускорения силы тяжести по величине. При этом опирались не только на аналитические, но и на численные методы. Однако если для дальностей между 50 и 200 км эти факторы учитывались чаще всего в виде поправок, то для дальностей свыше 200 км траектория вычислялась чаще всего интегрированием дифференциальных уравнений, составленных с учетом и тех сил, которые не принимались во внимание при решении основной задачи внешней баллистики.

метод основы 66

Установленные силы и моменты английские экспериментаторы выразили посредством формул, отличавшихся большим единообразием. Во многом это определялось использованием теории размерностей, опытами стрельбы по картонным щитам и сведениями, почерпнутыми из аэродинамики. Фаулер, Геллоп, Ричмонд и Локк установили очень важную закономерность — для скоростей снаряда свыше 0.75 скорости звука аэродинамические характеристики не остаются постоянными, а являются функцией числа М, Это было важным шагом в разработке аэродинамики сверхзвуковых скоростей. В результате продувок крыльев и винтов в аэродинамической трубе было выявлено, что на величину аэродинамических характеристик сказывается число Рейнольдса, но только при малых скоростях. Поэтому для снарядов влияние этого параметра можно было не учитывать.

метод основы 1

А. П. МАНД V Ы К Л

метод основы 192

Saint-Robert P. Des efets de la rotation de la terre sur le mouvement des projectiles. J. sc. milit. 5 serie., t. XIX, 1858.

метод основы 112

что наибольшее значение при движении снаряда со сверхзвуковыми скоростями имеет головное сопротивление. Обобщение этих материаловпозволило уточнить подход к выбору наивыгоднейшей формы, что было в принципе уже сделано в середине 30-х годов.

метод основы 77

Зависимость же скорости освобождения от высоты запуска ракеты исследовалась многими авторами. В частности, тот же Эно- Пельтри посвятил построению кривых освобождения, или, как он их называл, критических кривых, видное место в своей работе 1928 г. В своем исследовании он привел выражение для скорости освобождения в функции от высоты. Этот же вопрос затрагивался им и позднее. Здесь целесообразно сказать о следующем важном результате, установленном Эно-Пельтри за 30 лет до того, как облет Луны с помощью ракет стал реальностью. Было найдено, что в таком случае должны быть строго выдержаны не только угол запуска, вернее, угол между касательной к траектории и горизонтом в момент выключения двигателя, но и скорость, отвечающая этому моменту. Он подчеркивал, что ее величина не должна отклоняться от второй космической скорости более, чем на 1 %.

метод основы 54

В следующей своей работе Крылов писал о необходимости применения нового способа для решения задач дальней и сверхдальней стрельбы. Для интегрирования дифференциальных уравнений движения центра массы снаряда он предлагал воспользоваться методом Адамса—Стермера. В качестве независимой переменной был взят угол 0 между касательной к траектории и горизонтом. Позднее, снова возвращаясь к этой же задаче, Крылов говорил о большей целесообразности метода численного интегрирования по сравнению с другими приближенными приемами. Оперируя с той же системой уравнений по аргументу 0, он применял зональный закон сопротивления Маиевского—Забуд- ского и формулу для плотности, предложенную В. М. Трофимовым. В 1929г. Крылов обратился к методу Адамса—Стермера для интегрирования дифференциальных уравнений, в которых в качестве независимой переменной было взято время ?.по Наконец, метод Адамса—Стермера был изложен в книге Крылова, посвященной анализу приближенных приемов интегрирования дифференциальных уравнений.

метод основы 65

Трудность задачи заключалась в установлении аэродинамических коэффициентов для звуковых и сверхзвуковых скоростей. Для ее решения были проведены оригинальные эксперименты по специально разработанной методике. В этих опытах изучался полет продолговатого вращающегося снаряда на начальном участке траектории, который был аналогичен движению тяжелого гироскопа или волчка. Стрельба велась по установленным один за другим картонным щитам. Время движения снаряда между ними измерялось хронографом. По величине пробоин, их форме и ориентации определялся характер движения снаряда, а затем по известным формулам теории гироскопа и на основании соотношений между действующими на снаряд силами и моментами устанавливались и искомые характеристики. Скорости снаряда были заключены в границах между И и 770 м/сек., или от 0.04 до 2.1 М. Опыты с малыми скоростями проводились в аэродинамической трубе.

метод основы 136

В Советском Союзе метод вычисления активного участка траектории центра инерции пороховой ракеты был разработан Ф. Р. Гантмахером и Л. М. Левиным. Несмотря на то что книга этих авторов вышла в 1959 г., изложенный в ней метод был создан ими лет на пятнадцать ранее. В Советском Союзе им пользовались для решения задач стрельбы реактивной артиллерии в годы второй мировой войны. Подтверждением служит хотя бы предисловие книги. Таким образом, метод Гантмахера и Левина относится к томуже периоду, что и большая часть способов, предложенных за границей, речь о которых шла выше. Советские ученые дали метод, отличавшийся от зарубежных, что позволяет остановиться на нем специально.

метод основы 96

Ракеты открыли возможность достижения больших высот и проведение полетов на громадном удалении от Земли. Однако без создания специальной аппаратуры, основанной на радиоэлектронике, нельзя было бы получить данные о структуре атмосферы и об ее физических характеристиках. Нужна была и соответствующая методика. Здесь нет необходимости останавливаться на этих вопросах сколько-нибудь подробно. Достаточно сказать лишь о наиболее важных направлениях исследований.

метод основы 164

§ 8. Методы вычисления пассивного участка траектории баллистических и межконтинентальных ракет. Искусственные спутники Земли

метод основы 114

Сведения о формулах сопротивления для ракет, особенно о конкретных законах сопротивления, чрезвычайно скудны. В опубликованной литературе можно встретить только самые отрывочные данные по этим вопросам. Однако на основании изученного материала можно сделать заключение о том, что в этой области ракетодинамика черпала необходимые сведения чаще всего из внешней баллистики.

метод основы 106

Исследование движения тела в разреженном воздухе с большими скоростями отличается и другими особенностями. Так, вследствие малой плотности воздуха и небольших значений числа Рейнольдса обтекание в пограничном слое остается ломинар- ным. Как известно, при сверхзвуковых скоростях большое влияние на величину силы сопротивления имеют ударные волны. Но если принормальных давлениях толщина этих волн невелика, то при пониженных давлениях их толщина становится большей. Кроме того, взаимодействие ударной волны с ломинарным пограничным слоем становится значительно сложнее в связи с тем, что его скорость является частично дозвуковой, а отчасти сверхзвуковой. В результате видно, что метод решения задач должен быть иным, чем при обычных условиях, изучаемых в аэродинамике.

метод основы 132

§ 6. Вычисление траектории пороховых

метод основы 37

Н (у) = (1 — 0.000018^)6,

метод основы 31

Таким образом, Магнус не только показал наличие силы, получившей в дальнейшем его имя, но сделал значительно больше. Было выявлено, что на вращающийся продолговатый снаряд действует сила лобового сопротивления воздуха и боковая, или подъемная, сила. Вторая из них вызывает деривацию и придает траектории центра массы, снаряда геликоидальную форму. Магнус ввел в рассмотрение и момент силы сопротивления воздуха. Это была та система сил и моментов (не считая силы тяжести), которой оперировали баллистики второй половины XIX в. И если* Магнус получил качественную картину движения продолговатого снаряда, то Сен-Робер и Маиевский решили задачу количественно.

метод основы 142

В книге Россера, Ньютона и Гросса и в работе Ренкина содержатся специальные разделы по динамике точки и тела переменной массы. Однако изложенная в них теория носит менее общий характер, чем освещенные выше исследования.

метод основы 91

Rt = cHyF (i/),

метод основы13

Результатом перечисленных опытных стрельб явились двучленные формулы сопротивления различного вида, занимавшие господствующее место во внешней баллистике вплоть до 70-х годов XIX в. Это были: двучленная формула Дидиона,3-1 первый член которой пропорционален квадрату, а второй — кубу скорости; формулы Сен-Робера и Маиевского, имевшие тот же вид, что и закон Эйлера, но отличавшиеся коэффициентами. Все эти законы отражали резкое возрастание силы сопротивления воздуха после 300—400 м/сек. Иными словами, кривые функции сопротивления К (у) (сила сопротивления, разделенная на произведение плотности воздуха, площадь поперечпого сечения снаряда и квадрата скорости — в современных обозначениях Сх \

метод основы 62

Задача о движении снаряда с учетом суточного вращения Земли была обстоятельно разработана Мультоном. Он исходил из общего выражения для закона сопротивления воздуха. При интегрировании Мультон, как и большинство его предшественников, пренебрегал членами, содержащими квадрат и более высокие степени угловой скорости вращения Земли, кроме тех случаев, когда член имел в качестве сомножителя величину радиуса земного шара. Решение Мультона носило математичский характер и далеко отстояло от прикладных задач баллистики. Он оценил также возмущающее действие Луны и Солнца на ускорение земного притяжения и нашел, что это влияние невелико. Такое исследование интересно в плане оценки влияния названных факторов не только на полет артиллерийского снаряда. Как будет видно из дальнейшего (§ 8 гл. II), к изучению этих возмущений вернулись много позднее, когда космические полеты стали реальностью.

метод основы 57

зом, установить новую пару значений х.+1 и у.+1 и т.д.